Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣4經(jīng)過A（﹣8，0），B（2，0）兩點，直線x=﹣4交x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，點E在直線x=﹣4上，若以A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；

（3）若B，D，C三點到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問是否存在直線l，使？若存在，請直接寫出d₃的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4經(jīng)過A（﹣8，0），B（2，0）兩點，

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為。

 （2）∵點P在拋物線上，點E在直線x=﹣4上，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，，點E的坐標(biāo)為（﹣4，n），

如圖1，∵點A（﹣8，0），∴AO=8。

①當(dāng)AO為一邊時，EP∥AO，且EP=AO=8，

∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。

∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。

②當(dāng)AO為對角線時，則點P和點E必關(guān)于點C成中心對稱，故CE=CP。

∴，解得：。

∴P₃ （﹣4，﹣6）。

綜上所述，當(dāng)P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃ （﹣4，﹣6）時，A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形。

（3）存在4條符合條件的直線。d₃的值為。

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類討論：

①以AO為一邊的平行四邊形，有2個；

②以AO為對角線的平行四邊形，有1個，此時點P和點E必關(guān)于點C成中心對稱。

（3）存在4條符合條件的直線。

如圖2所示，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，

由題意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），

∴OC=4，OB=2，CD=6�！唷鰿DB為等腰直角三角形。

∴CH=CD•sin45°=6×=。

∵BD=2CH，∴BD=。

①∵CO：OB=2：1，

∴過點O且平行于BD的直線l₁滿足條件。

作BE⊥直線l₁于點E，DF⊥直線l₁于點F，設(shè)CH交直線l₁于點G，

∴BE=DF，即：d₁=d₂。

則，即，∴d₃=2d₁，∴。

∴CG=CH，即d₃=。

②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長CH交l₂于點G′，使CH=HG′，

∴d₃=CG′=2CH=。

③如圖3，過H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點E，DF⊥l₃于點F，CG⊥l₃于點G，

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．

∵CO：OB=2：1，∴。

作HI⊥x軸于點I，

∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。

∴。

∵△OCH的面積=×4×3=×d₃，∴d₃=。

④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對稱性，可作出直線l₄，易證：

，d₃=。

綜上所述，存在直線l，使．d3的值為：。