Question

某文化用品商店新進一批畢業(yè)紀(jì)念冊，該紀(jì)念冊每本進價10元，售價定為每本18元，該商店計劃出臺一下的促銷方案：凡一次購買紀(jì)念冊6本以上的（不含6本），每多買一本，所購買的每本紀(jì)念冊的售價就降低0.2元，但是每本紀(jì)念冊的最低售價不低于13元．
（1）問一次購買該紀(jì)念冊至少多少本時才能用最低價購買？
（2）求當(dāng)一次夠買該紀(jì)念冊x本時，商店所獲利潤W（元）與購買量x（本）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在研討促銷方案過程中，店員發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的現(xiàn)象：“如果商店一次售出30本紀(jì)念冊所獲得利潤，比一次售出26本紀(jì)念冊所獲得利潤低．”請你解釋其中的道理，并根據(jù)其中的道理替該商店修改一下促銷方案，使賣得紀(jì)念冊越多所獲利潤越大．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)購買紀(jì)念冊m本，根據(jù)題意得18-0.2（m-6）≥13，解不等式得到m≤31，即可得到一次購買該紀(jì)念冊至少多少本；
（2）分類：當(dāng)x≤6時；當(dāng)6＜x≤31時；當(dāng)x＞31時，分別用購買量x乘以每本的利潤得到商店所獲利潤W（元）；
（3）利用頂點公式求出當(dāng)6＜x≤31時，W=-0.2x²+9.2x，當(dāng)23≤x≤31時，W隨x的增大而減小，于是可解釋“如果商店一次售出30本紀(jì)念冊所獲得利潤，比一次售出26本紀(jì)念冊所獲得利潤低．”為了使賣得紀(jì)念冊越多所獲利潤越大把每本紀(jì)念冊的最低售價不低于13元改為18-0.2×（23-6）=14.6（元），這樣當(dāng)6＜x＜23時，W=-0.2x²+9.2x，W隨x的增大而增大，其他兩個函數(shù)也是增函數(shù)，可滿足使賣得紀(jì)念冊越多所獲利潤越大．
解答：解：（1）設(shè)購買紀(jì)念冊m本，
∴18-0.2（m-6）≥13，解得m≤31，
∴至少買31本才能用最低價購買；
（2）①當(dāng)x≤6時，
W=（18-10）x=8x（x為整數(shù)）；
②當(dāng)6＜x≤31時，
W=x[18-0.2（x-6）-10]
=x（9.2-0.2x）
=-0.2x²+9.2x（ x為整數(shù)）；
③當(dāng)x＞31時，
W=（13-10）x=3x（x為整數(shù)）；
（3）由②中W=-0.2x²+9.2x，
∵a=-0.2＜0，x=-=23，
∴當(dāng)23≤x≤31時，W隨x的增大而減小．
∴商店一次售出30本紀(jì)念冊所獲的利潤，比一次售出26本紀(jì)念冊所獲的利潤低，
又∵當(dāng)x=23時，紀(jì)念冊的售價為18-0.2×（23-6）=14.6（元），
∴商店把促銷方案中：“紀(jì)念冊的最低售價不低于13元”改為“紀(jì)念冊的最低售價不低于14.6元”，這樣三個函數(shù)在個自變量范圍都為增函數(shù)，于是可以使賣的紀(jì)念冊越多商店所獲的利潤越大．
點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)關(guān)系式表示實際生活中的數(shù)量關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題．也考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想的應(yīng)用．