Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）若m為整數(shù)，且拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式；
（3）若直線y=x+b與（2）中的拋物線沒有交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：分兩種情況討論．
①當(dāng)m=0時，方程為x-2=0，∴x=2，方程有實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)m≠0，則一元二次方程的根的判別式△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不論m為何實(shí)數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實(shí)數(shù)根；
綜合①、②，可知m取任何實(shí)數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根．

（2）設(shè)x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
令y=0，則mx²-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x₁=2，x2=

m-1

m

，
∴拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2不論m為任何不為0的實(shí)數(shù)時恒過定點(diǎn)（2，0）．
∵|x₁-x₂|=2，
∴|2-x₂|=2，
∴x₂=0或x₂=4，∴m=1或m=-

1

3

（不合題意舍去），
當(dāng)m=1時，y=x²-2x，
把（2，0）代入，左邊=右邊，
m=1符合題意，
∴拋物線解析式為y=x²-2x
答：拋物線解析式為y=x²-2x；

（3）①由

y =x2-2x y=x+b

，
得x²-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直線y=x+b與拋物線y=x²-2x沒有交點(diǎn)，
∴△=9+4b＜0，
∴b＜-

9

4

∴當(dāng)b＜-

9

4

，直線y=x+b與（2）中的拋物線沒有交點(diǎn)．

∴b的取值范圍是b＜-

9

4

．
②

y=x+b y=- 1 3 x2+2x- 8 2

，
-

1

3

x²+2x-

8

3

=x+b
x²-3x+（8+3b）=0，
∵直線y=x+b與拋物線y=-

1

3

x²+2x-

8

3

沒有交點(diǎn)，
∴△=（-3）²-4×1×（8+3b）＜0，
b＞-

23

12

，
即b的取值范圍是：b＜-

9

4

或b＞-

23

12

．