在平面直角坐標系中,己知O為坐標原點,點A(3,0),B(0.4),以點A為旋轉中心,把△ABO順時針旋轉,得△ACD.記旋轉角為α.∠ABO為β.

(I )如圖①,當旋轉后點D恰好落在AB邊上時,求點D的坐標;
(II)如圖②,當旋轉后滿足BC∥x軸時,求α與β之間的數(shù)量關系:
(III)當旋轉后滿足∠AOD=β時,求直線CD的解析式(直接寫出結果即可).
(1)()   (2)α=2β   (3)y=x﹣4

試題分析:(1)∵點A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5,
根據題意,有DA=OA=3.
如圖①,過點D作DM⊥x軸于點M,
則MD∥OB,
∴△ADM∽△ABO.有,

∴OM=,

∴點D的坐標為(,).
(2)如圖②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴在△ABC中,
∴α=180°﹣2∠ABC,
∵BC∥x軸,得∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,
∴α=2β;
(3)若順時針旋轉,如圖,過點D作DE⊥OA于E,過點C作CF⊥OA于F,
∵∠AOD=∠ABO=β,
∴tan∠AOD==,
設DE=3x,OE=4x,
則AE=4x﹣3,
在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2,
∴9=9x2+(4x﹣3)2
∴x=,
∴D(),
∴直線AD的解析式為:y=x﹣,
∵直線CD與直線AD垂直,且過點D,
∴設y=﹣x+b,把D()代入得,=﹣×+b,
解得b=4,
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于﹣1,
∴直線CD的解析式為y=﹣
同理可得直線CD的另一個解析式為y=x﹣4.




點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解釋式等知識點,本題關鍵在于結合圖形找到相似三角形,求相關線段的長度和有關點的坐標.
練習冊系列答案
相關習題

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已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置,點B,D重合,且點E、B(D)、C在同一條直線上.其中∠E=90°,∠EDF=30°,AB=DE=,現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒個單位向右平移,直至E點與C點重合時停止運動,設運動時間為t秒.
(1)試求出在平移過程中,點F落在△ABC的邊上時的t值;
(2)試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關系式;
(3)當D與C重合時,點H為直線DF上一動點,現(xiàn)將△DBH繞點D順時針旋轉60°得到△ACK,則是否存在點H使得△BHK的面積為?若存在,試求出CH的值;若不存在,請說明理由.

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(1)如圖1,若AB=AC,AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關系?并說明理由;
②求∠BMC的大。ㄓ忙帘硎荆;
(2)如圖2,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE,則線段BD與CE的數(shù)量關系為_________,∠BMC=_________(用α表示);

(3)在(2)的條件下,把△ABC繞點A逆時針旋轉180°,在備用圖中作出旋轉后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),連接EC并延長交BD于點M.則∠BMC=_________(用α表示).

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如圖所示,在形狀和大小不確定的△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點,P在EF或EF的延長線上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,設BP=y,PE=x.

(1)當x=EF時,求SDPE:SDBC的值;
(2)當CQ=CE時,求y與x之間的函數(shù)關系式;
(3)①當CQ=CE時,求y與x之間的函數(shù)關系式;
②當CQ=CE(n為不小于2的常數(shù))時,直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式.

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△ABC中,AB=9cm,AC=6cm,D是AC上的一點,且AD=2cm,過點D作直線DE交AB于點E,使所得的三角形與原三角形相似,則AE= _________ cm.

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