已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高.

（1）求證：△ABC∽△ADC ；

（2）若關(guān)于x的一元二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0兩個不相等的實數(shù)根，試求m的取值范圍；

（3）若（2）中方程的兩根恰好是Rt△ABC兩個銳角的正弦值，求Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比.

 


解：（1）證明：

 

             △ABC∽△ACD

（2）由于方程兩個不相等的實數(shù)根，所以

>0-

即>0

解得：

（3）∵sinA和 sinB是方程的兩根，可得

sinA+ sinB=；   

sinAsinB= .

∵sinB=cosA, 且  (sinA)2+( cosA)2=1，

∴ (sinA)2+(sinB)2=1

由（sinA+ sinB）2= (sinA)2+(sinB)2 +2sinAsinB -

得：　 ()2=1+

化簡得：m2+7m－8=0,  

∴m=1或 m=－8.

由sinA=,   sinB=.得：=.　

＝＝.

∴＝.

　當(dāng)　m=1 時，沒有意義；　當(dāng)m=-8時，=. 

　即直角三角形斜邊與斜邊上的高的比是32∶9

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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，過點B作BD∥AC，且BD=2AC，連接AD．試判斷△ABD的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1997•陜西）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E，OD∥AB．求證：①ED是⊙O的切線；②2DE2=BE•OD．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•豐臺區(qū)一模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結(jié)DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連結(jié)OE，若cos∠BAD=
3
5
，BE=
14
3
，求OE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設(shè)DE=x，DF=y．
（1）求出cosB的值；
（2）用含y的代數(shù)式表示AE；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（4）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求出S的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，求斜邊AB上的高CD．

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