Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC延長線上一點，E是邊AC上一點，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=．
（1）求證：；
（2）如果S₁、S₂分別表示△BCE、△ABD的面積，求：S₁•S₂的值；
（3）當(dāng)∠AEB=∠ACD時，求△ACD的面積．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA．（2分）
∴．（1分）

（2）作AH⊥BC于點H，
∵AB=AC，BC=4，
∴BH=2．
∵cos∠ABC=，
∴．
∴AB=AC=6．（1分）
在Rt△ABH中，
AH=．（1分）
過E作EG⊥BC，交BC于G，
∵△BCE∽△DBA，
∴．（1分）
∴．（1分）
∴
=．（1分）

（3）∵∠AEB=∠ACD，
∴∠BEC=∠ACB，又∠ABC=∠ACB．
∴∠BEC=∠ACB=∠ABC．
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∠EBC=180°-∠BEC-∠ACB，
∴∠BAC=∠EBC．
∵∠EBC=∠D．
∴∠BAC=∠D．（1分）
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA．（1分）
∴．
∴．（1分）
∴BD=9．
∴CD=5．（1分）
∴．（1分）
分析：（1）由AB=AC，根據(jù)“等邊對等角”得到一對角相等，由已知的兩角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形BCE與三角形DBA相似，由相似得比例得證；
（2）過A作AH垂直于BC，由AB=AC，根據(jù)“三線合一”得到BH等于BC的一半，由BC的長求出BH的長，在根據(jù)銳角三角形函數(shù)的余弦函數(shù)定義，由BH的長和cos∠ABC的值求出AB的長，在直角三角形中，由AB和BH，利用勾股定理求出AH的長，再由第一問的相似得到對應(yīng)高之比等于相似比，即等于對應(yīng)邊之比，化比例式為乘積式，把求出的AH和BC代入即可求出AH•BC的值，然后利用三角形的面積公式分別表示出S₁與S₂，進而表示出S₁•S₂，等量代換后把求出AH•BC的值代入即可求出值；
（3）由∠AEB=∠ACD，根據(jù)等角的鄰補角相等得到∠BEC=∠ACB，又AB=AC，根據(jù)“等邊對等角”得到∠ABC=∠ACB，等量代換得到∠BEC=∠ACB=∠ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，等量代換得到∠BAC=∠EBC，又∠AEB=∠ACD，等量代換得到∠BAC=∠D，再根據(jù)已知的兩角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ABC與三角形DBA相似，根據(jù)相似得比例，由AB和BC的長求出BD的長，進而求出CD的長，然后由CD邊上的高AH，利用三角形的面積公式求出三角形ACD的面積．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解三角形的知識．本題主要利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，借助圖形的性質(zhì)、公式或已知條件，將問題通過轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的目的，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想就是要我們深刻理解并靈活運用新舊知識的聯(lián)系．第2、3問要求三角形的面積，分別過A和E作出BC邊上的高是解題的突破點，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．