Question

如圖在平面直角坐標系內，點A與C的坐標分別為（4，8），（0，5），過點A作AB⊥x軸于點B，過OB上的動點D作直線y=kx+b平行于AC，與AB相交于點E，連接CD，過點E作直線EF∥CD，交AC于點F．
（1）求經過點A，C兩點的直線解析式；
（2）當點D在OB上移動時，能否使四邊形CDEF成為矩形？若能，求出此時k、b的值；若不能，請說明理由；
（3）如果將直線AC作向下平移，交y軸于點C′，交AB于點A′，連接DC′，過點E作EF′∥DC′，交A′C′于點F′，那么能否使四邊形C′DEF′成為正方形？若能，請求出此時正方形的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知A、C兩點坐標，用待定系數求出解析式；
（2）D在OB上移動，設出D點坐標，根據矩形性質CD⊥DE，從而有一個斜率關系，代入可求出D點坐標，從而求出直線DE；
（3）在第二問的基礎上繼續(xù)延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直線DE解析式，再求出邊長就解決問題了．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

8=4k+b 5=b

，
解得k=

3

4

，b=5，
∴直線AC的解析式為：y-5=

3

4

x，即y=

3

4

x+5；

（2）如圖1，設D（m，0），
∵kAC=

3

4

，DE∥AC，AC⊥CD，
∴k=

3

4

，k_CD=-

4

3

，
又C（0，5），D（m，0），
∴

5-0

0-m

=-

4

3

，
∴m=

15

4

，
∴點D（

15

4

，0）代入y=

3

4

x+b，
∴b=-

45

16

；

（3）如圖2，假設存在這樣的正方形則由題意：將直線AC作向下平移，
則可設直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5+c，
∵A′C′∥DE，
∴k=

3

4

直線DE的解析式為：y=

3

4

x+b，
令y=0，得x=-

4

3

b，
設D（-

4

3

b，0），C′（0，5+c），
又∵E點橫坐標為4，
∴E（4，3+b），
則OD=-

4

3

b，BD=4+

4

3

b，BE=3+b，OC′=5+c，
∵由題意使四邊形C′DEF′成為正方形，
∴DO=BE，OC′=DB，
則

3+b=- 4 3 b 4+ 4 3 b=5+c

，
解得：

b=- 9 7 c=- 19 7

∴邊長為

(5+c)2+( 4 3 b)2

=

20

7

，
∴正方形的面積S=

20

7

×

20

7

=

400

49

．

點評：此題考查一次函數基本性質，待定系數求解析式，簡單的幾何關系，但實質考查計算能力，解方程組．第三問探討存在性問題，間接考查了正方形的性質．