Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于F、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）如果BF比AE長(zhǎng)2，BE=5，求sin∠FBE的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)EF是對(duì)角線AC的垂直平分線，可以求證△AOE≌△COF，證明四邊形的對(duì)角線互相平分，垂直，就可以證出．
（2）在直角△OFC中根據(jù)勾股定理就可以求出．

解答：解：（1）∵EF是對(duì)角線AC的垂直平分線，
∴OA=OC，AC⊥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形是AFCE菱形．（1分）

（2）連接AE交BF于O點(diǎn)

BF-AE=2 ( BF 2 )2+( AE 2 )2=25

，（2分）
∴

BF=8 AE=6

．（1分）
在Rt△BOE中，sin∠FBE=

OE

BE

=

3

5

．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的證明方法，以及平行四邊形的性質(zhì)，中心對(duì)稱性．