Question

如圖，⊙C與x軸相切，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-3）．點(diǎn)P在x軸上滑動(dòng)，當(dāng)半徑為2的⊙P與⊙C外切時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：計(jì)算題,壓軸題,分類討論

分析：分兩種情況考慮：當(dāng)圓P與圓C相切，且P點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示，連接CQ，CP，由圓C與x軸相切，利用切線的性質(zhì)得到CQ垂直于x軸，由C的坐標(biāo)得到CQ及OQ的長(zhǎng)，同時(shí)由兩圓外切，得到圓心距等于兩半徑相加，根據(jù)圓P與圓C的半徑求出PC的長(zhǎng)，在直角三角PQC中，由QC與PC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)，再由PQ-OQ求出OP的長(zhǎng)，由P在x軸負(fù)半軸上，寫出此時(shí)P的坐標(biāo)即可；當(dāng)圓P與圓C外切，且P點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示，連接CD，CP，由圓C與x軸相切，利用切線的性質(zhì)得到CD垂直于x軸，由C的坐標(biāo)得到CD及OD的長(zhǎng)，同時(shí)由兩圓外切，得到圓心距等于兩半徑相加，根據(jù)圓P與圓C的半徑求出PC的長(zhǎng)，在直角三角形PCD中，由PC及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，再由OQ+PQ求出OP的長(zhǎng)，根據(jù)P點(diǎn)在x軸的正半軸上，寫出此時(shí)P的坐標(biāo)即可，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．

解答：解：當(dāng)⊙P與⊙C外切，且P在原點(diǎn)左邊時(shí)，如圖所示：

連接CQ，CP，由⊙C與x軸相切，得到CQ⊥x軸，
∵C坐標(biāo)為（1，-3），
∴CQ=3，即⊙C半徑為3，OQ=1，
∵⊙P與⊙C外切，且⊙P半徑為2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PQC中，根據(jù)勾股定理得：PC²=PQ²+CQ²，
即5²=PQ²+3²，解得：PQ=4，
∴OP=PQ-OQ=4-1=3，
∴P的坐標(biāo)為（-3，0）；
當(dāng)⊙P與⊙C外切，且P在原點(diǎn)右邊時(shí)，如圖所示：

連接OC，CD，由⊙C與x軸相切，得到CD⊥x軸，
∵C坐標(biāo)為（1，-3），
∴CD=3，即⊙C半徑為3，OD=1，
∵⊙P與⊙C外切，且⊙P半徑為2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PDC中，根據(jù)勾股定理得：PC²=PD²+CD²，
即5²=PD²+3²，解得：PD=4，
∴OP=PD+OD=4+1=5，
∴P的坐標(biāo)為（5，0），
綜上，當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3或5．
故答案為：-3或5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．