Question

【題目】如圖,已知y=3x+3與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,與函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)P
（1）在該坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y= 的圖象,并說明點(diǎn)P也在函數(shù)y= 的圖象上；
（2）設(shè)直線y= 與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，求證：PO平分∠APC；
（3）連接AC，求△APC的面積；
（4）在y軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，解方程組，得

y=3x+3 y=x

得

x=- 3 2 y=- 3 2

，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

3

2

），
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y=

1

3

x(-1=

1

3

×（-

3

2

）-1=-

3

2

，所以點(diǎn)P在函數(shù)y=x-1

的圖象上

（2）證明：∵點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)C（3，0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴直線y=x垂直平分AC，
∴PO平分∠APC；
（3）解：B（-1，0），A（0，3），
△APC的面積=S△ABC+S△PBC
= ×（3+1）×3+ ×（3+1）×3=9．
（4）AC=,
當(dāng)AC=AM時(shí)，OM=AM-OA=-3，M坐標(biāo)為（0，3-）或（0，3+）；
當(dāng)CA=CM時(shí)，OA=OM=3，M坐標(biāo)為（0.-3）；
當(dāng)MA=MC時(shí)，M在原點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）
【解析】

（1）兩直線相交或平行：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同，由此可進(jìn)行求解．（2）可證明PO所在三角形為等腰三角形，即直線y=x垂直平分AC，可得到平分頂角；（4）等腰三角形需分為三類，A、C、M分別為頂角頂點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可求出M坐標(biāo).