Question

已知直線y=-2x+6交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點及x軸上另一點C，且AC=2．
（1）當tan∠BCO＜tan∠BAO時，求拋物線的解析式．
（2）點D的坐標是（-2，0），在直線y=-2x+6上確定點P，使以點A、P、D為頂點的三角形與△ABO相似．
（3）在（1）、（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)tan∠BCO＜tan∠BAO，則B在A的右側，求出A、B、C的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作出△ADP，根據(jù)相似三角形的性質，求出AP的長，再根據(jù)等積法求出P點橫縱坐標，即可求出P點坐標；
（3）根據(jù)△ADE的面積等于四邊形APCE的面積，求出E的縱坐標，由于其小于頂點坐標，故E不存在．

解答：解：（1）∵直線y=-2x+6交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A、B點坐標分別為（3，0），（0，6），
∵tan∠BCO＜tan∠BAO，
∴C在A的右側，
又∵AC=2，A點坐標為（3，0），
∴C點坐標為（5，0），
如圖1：設函數(shù)解析式為y=a（x-3）（x-5）
將B（0，6）代入解析式得，6=a（0-3）（0-5），
整理得，a=

2

5

，函數(shù)解析式為y=

2

5

x²-

16

5

x+6．

（2）①如圖2，當△DPA∽△BOA時，
∵AO=3，BO=6，
∴AB=

32+62

=

45

=3

5

，

AP

AO

=

AD

AB

，
即

AP

3

=

5

3 5

，
AP=

5

，
在△APD中，DP=

AD2-AP2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
設P點縱坐標為y，

1

2

×5y=

1

2

×

5

×2

5

，解得y=2，
把y=2代入y=-2x+6得，2=-2x+6，
x=2，
則P點坐標為（2，2）．
②如圖3，△DPA∽△OBA時，

AO

AD

=

OB

PD

，即

3

5

=

6

PD

，
解得PD=10，
將PD=10代入y=-2x+6得，
-2x+6=10，解得x=-2，
則P點坐標為（-2，10）．
故點P坐標為（2，2）或（-2，10）．

（3）如圖4：設E點坐標為|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四邊形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
則

5|y|

2

=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
解得|y|=

4

3

，
即y=-

4

3

．
∵y=

2

5

x²-

16

5

x+6的頂點縱坐標為

4× 2 5 ×6-( 16 5 )2

4× 2 5

=-

2

5

，
∵-

4

3

＜-

2

5

，
∴不存在點E．
如圖5：設E點坐標為|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四邊形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
則

5|y|

2

=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
解得y=-

20

3

，
∵-

20

3

＜-

2

5

，
∴不存在點E．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的性質、二次函數(shù)的性質等知識，綜合性很強，主要考查同學們的邏輯思維能力．