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如圖,線段AB=1,點C在線段AB上,以AC為半徑的⊙A與以CB為半徑的⊙C相交于點D,BD的延長線與⊙A相交于點E,CD、AE的延長線相交于點F.
(1)求證:∠ADB=3∠B;
(2)設⊙C的半徑為x,EF的長為y,求y與x的函數解析式,并寫出定義域;
(3)點C在線段AB上移動的過程中,⊙C能否與AE相切?如果能夠,請求出這時⊙C的半徑;如果不能,請說明理由.
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分析:(1)由題意得出,∠ACD=2∠B,再根據AC=AD,得∠ADC=∠ACD=2∠B,從而得出∠ADB=3∠B;
(2)由題意得出∠FED=∠ADB=3∠B,可證明△ACD∽△FAC,則
AF
AC
=
AC
CD
,代入數值即可得出y與x之間的函數關系式,
(3)先判斷,⊙C能與AE相切,設切點為G,連接CG,則∠AGC=90°,由勾股定理得AG,過點F作FH⊥AC,垂足為H.在Rt△FAH中,由三角函數求出x即可.
解答:解:(1)∵點B、D在⊙C上,
∴CD=CB,
∴∠CDB=∠B.(1分)
∴∠ACD=2∠B.(1分)
∵點C、D在⊙A上,
∴AC=AD,
∴∠ADC=∠ACD=2∠B.(1分)
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC,
∴∠ADB=3∠B.(1分)

(2)∵AE=AD,
∴∠AED=∠ADE.
∴∠FED=∠ADB=3∠B.(1分)
∵∠FAC=∠FED-∠B,
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA.(1分)
∴△AFC∽△ACD,
AF
AC
=
AC
CD
.�。�1分)
∵BC=CD=x,
∴AE=AC=1-x,AF=
AC 2
CD
=
(1-x) 2
x
,(1分)
y=
(1-x)2
x
-(1-x)=
2x2-3x+1
x
.(1分)
定義域為0<x<
1
2
.(1分)

(3)如圖,⊙C能與AE相切,設切點為G精英家教網,
連接CG,則∠AGC=90°.
在Rt△ACG中,AG=
AC2-CG2
=
(1-x)2-x2
=
1-2x

cos∠GAC=
AG
AC
=
1-2x
1-x
.(1分)
過點F作FH⊥AC,垂足為H.在Rt△FAH中,
∵△ACD∽△FAC,AC=AD,
∴AF=CF,
∴AH=
1
2
AC,
cos∠FAH=
AH
AF
=
1-x
2
(1-x)2
x
=
x
2(1-x)
.(1分)
1-2x
1-x
=
x
2(1-x)
,(1分)
x2+8x-4=0,x=-4±2
5
(負值舍去).(1分)
∴⊙C的半徑為2
5
-4
點評:本題是一道綜合題,考查了相似三角形的判定和性質,相交兩圓的性質,切線的性質以及勾股定理,是中考壓軸題,難度較大.
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3
≈1.73
).

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5
5
時,S△PAB=5平方米.(本題不要求寫過程)
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