Question

如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是a、b、c、d，且滿足|a+9|=1，b=a+2，（c-16）²與|d-20|互為相反數(shù)．
（1）求a、b、c、d的值．
（2）如果點(diǎn)M為A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)N到點(diǎn)C有5個(gè)單位長(zhǎng)，求M、N兩點(diǎn)之間的距離．
（3）若A、B兩點(diǎn)以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)C、D兩點(diǎn)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒向左勻速運(yùn)動(dòng)，并設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，問(wèn)是否存在時(shí)間t，使B與C的距離是A與D的距離的4倍？若存在，求時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，及相反數(shù)的定義，可得出a、b、c、d的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果討論點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后討論點(diǎn)N在點(diǎn)C的左邊或右邊，分別計(jì)算即可．
（3）分兩種情況，①點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的左邊，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的右邊，②點(diǎn)A、點(diǎn)B均在點(diǎn)D的右邊，然后分別表示出BC、AD的長(zhǎng)度，建立方程，求解即可．

解答：解：（1）

|a+9|=1 b=a+2

，
解得：

a=-10 b=-8

或

a=-8 b=-6

，
∵（c-16）²與|d-20|互為相反數(shù)，
∵（c-16）²≥0，|d-20|≥0，
∴c-16=0，d-20=0，
可得：c=16，d=20；
（2）①當(dāng)a=-10，b=-8時(shí)，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-9，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C左邊時(shí)，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為11，
此時(shí)M、N兩點(diǎn)之間的距離為20；
②當(dāng)a=-10，b=-8時(shí)，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-9，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C右邊時(shí)，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為21，
此時(shí)M、N兩點(diǎn)之間的距離為30；
③當(dāng)a=-8，b=-6時(shí)，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-7，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C左邊時(shí)，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為11，
此時(shí)M、N兩點(diǎn)之間的距離為18；
④當(dāng)a=-8，b=-6時(shí)，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-7，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C右邊時(shí)，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為21，
此時(shí)M、N兩點(diǎn)之間的距離為28；

（3）當(dāng)a=-10，b=-8時(shí)，
①點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的左邊，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的右邊，此時(shí)

7

2

＜t≤

15

4

，
A的值為6t-10，B的值為6t-8，C的值為16-2t，D的值為20-2t，
AD=20-2t-（6t-10）=30-8t，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由題意得：8t-24=4（30-8t），
解得：t=

18

5

，
∵

7

2

＜t≤

15

4

，
∴t不存在．
②點(diǎn)A、點(diǎn)B均在點(diǎn)D的右邊，此時(shí)t＞

15

4

，
A的值為6t-10，B的值為6t-8，C的值為16-2t，D的值為20-2t，
AD=6t-10-（20-2t）=8t-30，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由題意得，8t-24=4（8t-30），
解得：t=4，滿足t＞

15

4

；
綜上可得存在時(shí)間t=4，使B與C的距離是A與D的距離的4倍．

當(dāng)a=-8，b=-6時(shí)，
①點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的左邊，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的右邊，此時(shí)

13

4

＜t≤

7

2

，
A的值為6t-8，B的值為6t-6，C的值為16-2t，D的值為20-2t，
AD=20-2t-（6t-8）=28-8t，BC=6t-6-（16-2t）=8t-22，
由題意得：8t-22=4（28-8t），
解得：t=

67

20

，滿足

13

4

＜t≤

7

2

，
故t=

67

20

．
②點(diǎn)A、點(diǎn)B均在點(diǎn)D的右邊，此時(shí)t＞

7

2

，
A的值為6t-8，B的值為6t-6，C的值為16-2t，D的值為20-2t，
AD=6t-8-（20-2t）=8t-28，BC=6t-6-（16-2t）=8t-22，
由題意得，8t-22=4（8t-28），
解得：t=

15

4

，滿足t＞

7

2

；
綜上可得存在時(shí)間t=4或t=

15

4

，使B與C的距離是A與D的距離的4倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的計(jì)算，解答本題的前提是求出a、b、c、d的值，關(guān)鍵是利用分類討論思想，列方程求解，難度較大．