Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為________．

Answer 1

2或或
分析：分情況討論，①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC；②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC．分別畫圖，并求出BD．
解答：①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=1+1=2；
②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=1×=；
在Rt△BAC中，BC=，
∴BD=，
③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=1×，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC=，
∴BD=，
綜上所述：BD的長等于2或或．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題時注意分類討論，不要漏掉所有可能的情況．