Question

（2003•大連）問題：要將一塊直徑為2m的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)圓錐的底面．
操作：
方案一：在圖1中，設(shè)計(jì)一個(gè)圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案（要求：畫示意圖）；
方案二：在圖2中，設(shè)計(jì)一個(gè)圓柱兩個(gè)底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案（要求：畫示意圖）．
探究：
（1）求方案一中圓錐底面的半徑；
（2）求方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個(gè)底面圓心為O₁、O₂，圓錐底面的圓心為O₃，試判斷以O(shè)₁、O₂、O₃、O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)圓錐的底面與半圓內(nèi)切，且與直徑相切時(shí)，圓錐底面面積最大，而兩個(gè)圓柱的底面分別與圓錐底面外切，且與半圓內(nèi)切，與半圓的直徑相切．
（2）當(dāng)兩個(gè)圓柱的底面外切，且分別與半圓內(nèi)切，與半圓的直徑相切時(shí)，圓柱的底面面積最大，此時(shí)圓錐底面與半圓內(nèi)切，又與兩個(gè)圓柱底面外切．由圓的對稱性質(zhì)，可知得到以O(shè)₁、O₂、O₃、O為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．
解答：解：（1）如圖，當(dāng)圓錐的底面與半圓內(nèi)切且與直徑相切時(shí)，圓錐底面面積最大，故圓錐的直徑是半圓的半徑，所以圓錐的半徑是0.5m．


（2）如圖，當(dāng)兩個(gè)圓柱的底面外切，且分別與半圓內(nèi)切，與半圓的直徑相切時(shí)，圓柱的底面面積最大，由于該圖是關(guān)于OC成軸對稱圖形，且扇形OAC順時(shí)旋轉(zhuǎn)90度后，能與圖形也能重合，故有四邊形的四邊相等，四角為直角，所以是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了兩圓相切的概念及圖形的對稱性求解．