Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=3，OB=5，點D為y軸上一點，其坐標(biāo)為（0，1），點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段AC-CB的方向運動，當(dāng)點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P經(jīng)過點C時，求直線DP的函數(shù)解析式；
（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)點D關(guān)于OP的對稱點落在x軸上時，求點P的坐標(biāo)．
（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）①當(dāng)P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當(dāng)P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；
②當(dāng)D關(guān)于OP的對稱點落在x軸上時，直線OP為y=x，求出此時P坐標(biāo)即可；
（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)此時直線DP解析式為y=kx+b，
將D（0，1），C（3，5）代入得：

b=1 3k+b=5

，
解得：

k= 4 3 b=1

，
則此時直線DP解析式為y=

4

3

x+1；

（2）①當(dāng)點P在線段AC上時，OD=1，高為3，S=

3

2

；
當(dāng)點P在線段BC上時，OD=1，高為3+5-t=8-t，S=

1

2

×1×（8-t）=-

1

2

t+4；
②當(dāng)點D關(guān)于OP的對稱點落在x軸上時，D對稱點為（1，0），此時直線OP為y=x，
則此時點P的坐標(biāo)是（3，3）；

（3）存在，理由為：
若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：
①當(dāng)BD=BP₁=OB-OD=5-1=4，
在Rt△BCP₁中，BD=4，BC=3，
根據(jù)勾股定理得：CP₁=

42-32

=

7

，
∴AP₁=5-

7

，即P₁（3，5-

7

）；
②當(dāng)BP₂=DP₂時，此時P₂（3，3）；
③當(dāng)DB=DP₃=4時，
在Rt△DEP₃中，DE=3，
根據(jù)勾股定理得：P₃E=

42-32

=

7

，
∴AP₃=AE+EP₃=

7

+1，即P₃（3，

7

+1），
綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（3，3）或（3，

7

+1）或（3，5-

7

）．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．