Question

如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，且OA=

10

，OA與x軸正方向的夾角為α，tanα=

1

3

，
（1）求k的值，并求當(dāng)y≤1時(shí)自變量x的取值范圍；
（2）點(diǎn)B（m，-2）也在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，連接AB，與x軸交于點(diǎn)C，若AC與x軸正方向的夾角為β，求sinβ的值；
（3）點(diǎn)P在x軸上，且使得△OBP為直角三角形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；
（2）把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標(biāo)，把A和B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（3）當(dāng)BP⊥x軸，以及BP⊥y軸，分別求出即可．

解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標(biāo)為（3，1），
A點(diǎn)在雙曲線上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
當(dāng)y≤1時(shí)，x≥3或x＜0；

（2）B（m，-2）在雙曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐標(biāo)是（-

3

2

，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1．
sinβ=

2 13

13

；

（3）P（-

3

2

，0）或P（-

25

6

，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理等知識點(diǎn)，綜合運(yùn)用這些知識進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．