Question

已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，并且存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形，求此時(shí)△AQP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理得出AB，因?yàn)锳P=5-t，AQ=2t，則可證明△APQ∽△ABC，即可求得t；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得，然后根據(jù)三角形的面積公式，從而求得y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，根據(jù)菱形的性質(zhì)得PQ=PC，易知△PBN∽△ABC．則可得出PN=QM=CM，求得t，即可求得△AQP的面積．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴=，
∴，
∴．

（2）如圖①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴，
∴．

（3）如圖②過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
由于四邊形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴當(dāng)時(shí)，
∴AQ=，
易知△APM∽△ABC．
=，
=，
∴PM=，
此時(shí)△AQP的面積y=××=．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道幾何與代數(shù)的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是中考?jí)狠S題，難度偏大．