Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)P沿射線BO以每秒2個單位的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從A到O以每秒1個單位的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)O時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．

（1）設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒，M為PQ的中點(diǎn)，請用t表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
（2）設(shè)△BPM的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？
（3）請畫出M點(diǎn)的運(yùn)動路徑，并說明理由；
（4）若以A為圓心，AQ為半徑畫圓，t為何值時(shí)⊙A與點(diǎn)M的運(yùn)動路徑只有一個交點(diǎn)？

Answer 1

（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t
又∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-t，3-

1

2

t）；

（2）BP=2t，M的縱坐標(biāo)是：3-

1

2

t，
則S=

1

2

•2t•（3-

1

2

t），
即S=-

1

2

t²+3t=-

1

2

（t-3）²+

9

2

，
則當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值是

9

2

；

（3）∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-t，3-

1

2

t），
∴M在y=

1

2

x+1上，即運(yùn)動的路徑是y=

1

2

x+1（-2≤x≤4）；

（4）①⊙A與點(diǎn)M的運(yùn)動路徑只有一個交點(diǎn)，則⊙A與射線y=

1

2

x+1相切，
∴A到直線的距離為AE=t，
設(shè)切點(diǎn)為E，射線y=

1

2

x+1與y軸交于點(diǎn)F，
則sin∠AFE=

t

5

=

2

5

，
解得：t=2

5

；
②當(dāng)AQ=5時(shí)，⊙A過線段CD的端點(diǎn)C，
當(dāng)AQ=6時(shí)，⊙A與線段CD恰有一個交點(diǎn)，
∴當(dāng)5＜AQ≤6，即5s＜t≤6s時(shí)，⊙A與線段CD恰有一個交點(diǎn)，
綜上所述：當(dāng)t=2

5

s或5s＜t≤6s時(shí)，⊙A與線段CD恰有一個交點(diǎn)．