Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有如下定義：若直線l和圖形W相交于兩點，且這兩點的距離不小于定值k，則稱直線l與圖形W成“k相關(guān)”，此時稱直線與圖形W的相關(guān)系數(shù)為k．
（1）若圖形W是由A（-2，-1），B（-2，1），C（2，1），D（2，-1）順次連線而成的矩形：
①l₁：y=x+2，l₂：y=x+1，l₃：y=-x-3這三條直線中，與圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線有l(wèi)₁和l₂；
②畫出一條經(jīng)過（0，1）的直線，使得這條直線與W成“$\sqrt{5}$相關(guān)”；
③若存在直線與圖形W成“2相關(guān)”，且該直線與直線y=$\sqrt{3}$x平行，與y 軸交于點Q，求點Q縱坐標(biāo)y_Q的取值范圍；
（2）若圖形W為一個半徑為2的圓，其圓心K位于x軸上．若直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$與圖形 W成“3相關(guān)”，請直接寫出圓心K的橫坐標(biāo)x_K的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））①如圖1中，畫出圖形，即可判斷直線l₁與l₂與圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線．
②符合題意的直線如圖2中所示．夾在直線a和b或c和d之間的（含直線a，b，c，d）都是符合題意的．
③如圖3中，設(shè)符合題意的直線的解析式為 y=$\sqrt{3}$x+b，由題意可知符合題意的臨界直線分別經(jīng)過點（-1，1），（1，-1）．分別代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，由此即可解決問題．
（2）如圖4中，⊙K與直線交于點A、B，直線與x軸交于點D（-3，0），作KC⊥AB于C．假設(shè)AB=3，求出DK，再根據(jù)對稱性即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，直線l₁與l₂圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線．

故答案為l₁和l₂．

②符合題意的直線如圖2中所示．夾在直線a和b或c和d之間的（含直線a，b，c，d）都是符合題意的．



③如圖3中，設(shè)符合題意的直線的解析式為 y=$\sqrt{3}$x+b，

 由題意可知符合題意的臨界直線分別經(jīng)過點（-1，1），（1，-1）．
分別代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，
∴-1-$\sqrt{3}$≤y_Q≤1+$\sqrt{3}$．

（2）如圖4中，⊙K與直線交于點A、B，直線與x軸交于點D（-3，0），作KC⊥AB于C．

在Rt△AKC中，∵AC=BC=$\frac{3}{2}$，KA=2，
∴CO=$\sqrt{K{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△CDK，∵∠CDO=30°，
∴DK=2CO=$\sqrt{2}$，
根據(jù)對稱性可知，當(dāng)-3-$\sqrt{7}$≤x_K≤-3+$\sqrt{7}$時，若直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$與圖形 W成“3相關(guān)”．

點評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理，解直角三角形等知識，綜合性比較強(qiáng)，理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中考創(chuàng)新題目．