Question

在四邊形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，則∠CAD的度數(shù)為

1. A.
   60°
2. B.
   66°
3. C.
   72°
4. D.
   80°

Answer 1

B
分析：在CD上取點E，使∠EAD=60°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可推出AE=AB，由已知可求得∠DAB，∠EAB的度數(shù)，作∠ABE的角平分線BF交AE于F，可得到AF=BF=BE，從而可推出∠BEC=∠BCE，即得到AF=BF=BE=BC，連接CF得到△BFC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)不難求得∠CFE的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠FAC的度數(shù)，根據(jù)∠CAD=∠CAE+∠EAD即可求解．
解答：解：在CD上取點E，使∠EAD=60°，
∵∠D=90°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∵AB=2AD，
∴AE=AB，
∵∠CDA=90°，∠BCD=78°，
∴∠DAB=∠ABC=（360°-90°-78°）=96°，
∴∠EAB=96°-60°=36°，
作∠ABE的角平分線BF交AE于F，則BF把△ABE分成兩個等腰三角形，
∴AF=BF=BE，
∵∠BCE=78°，∠BEC=180°-30°-72°=78°，
∴∠BEC=∠BCE，
∴AF=BF=BE=BC．
∵∠FBC=∠ABC-∠ABF=96°-36°=60°，
連接CF得到△BFC為等邊三角形，
∴AF=BF=FC，
∵∠CFE=∠BFE-∠BFC=72°-60°=12°，
∴∠FAC=∠CFE=×12°=6°，
∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=6°+60°=66°．
故選B．
點評：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)的綜合運用．