Question

（2013•昭通）如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c （a≠0）上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）將直線(xiàn)OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿(mǎn)足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；
（2）首先求出直線(xiàn)OB的解析式為y=x，進(jìn)而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)即可；
（3）首先求出直線(xiàn)A′B的解析式，進(jìn)而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進(jìn)而求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c （a≠0）上．
∴

9a+3b+c=0 16a+4b+c=4 c=0

，
解得：

a=1 b=-3 c=0

，
故拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-3x；

（2）設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點(diǎn)B（4，4）得
4=4 k₁，
解得k₁=1．
∴直線(xiàn)OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點(diǎn)B向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，0），
故m=4．
∴平移m個(gè)單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)為y=x-4．
解方程組 

y=x2-3x y=x-4

   
解得：

x=2 y=-2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2）．

（3）∵直線(xiàn)OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．
∵點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線(xiàn)A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=

1

4

．
∴直線(xiàn)A′B的解析式為y=

1

4

x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點(diǎn)N在直線(xiàn)A′B上，
設(shè)點(diǎn)N（n，

1

4

n+3），又點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n．
解得  n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

3

4

，

45

16

）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則 N₁ （-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線(xiàn)y=-x上．
過(guò)D點(diǎn)做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點(diǎn)．
∴

OP1

ON

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△P₁OD沿直線(xiàn)y=-x翻折，可得另一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（

45

32

，

3

8

）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

8

，-

45

32

）和（

45

32

，

3

8

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系是解題關(guān)鍵．