如圖,在正方形ABCD中,BC=12,∠EBF=45°,若EF=10,則CF的長(zhǎng)為( 。
A、6B、8C、4或8D、4或6
考點(diǎn):正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理
專題:
分析:把△BCF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BH,CF=AH,∠CBF=∠ABH,然后求出∠EBH=∠EBF=45°,再利用“邊角邊”證明△BEF和△BEH全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EH=EF,設(shè)CF=x,表示出DF、DE,然后在Rt△DEF中利用勾股定理列出方程求解即可.
解答:解:如圖,把△BCF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH,
則BF=BH,CF=AH,∠CBF=∠ABH,
∵∠EBF=45°,
∴∠EBH=∠EBA+∠ABH=∠EBA+∠EBF=90°-45°=45°,
∴∠EBH=∠EBF=45°,
在△BEF和△BEH中,
BF=BH
∠EBH=∠EBF
BE=BE
,
∴△BEF≌△BEH(SAS),
∴EH=EF=10,
設(shè)CF=x,
∵BC=12,EF=10,
∴DF=12-x,
DE=AD-AE=12-(10-x)=2+x,
在Rt△DEF中,DF2+DE2=EF2,
即(12-x)2+(2+x)2=102
整理得,x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6,
故,CF的長(zhǎng)為4或6.
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
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A、10
B、
10
C、2
2
D、
2

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