Question

如圖，E為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任一點(diǎn)，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R．有下列結(jié)論：①△PCQ∽△PER；②；③；④．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證出；
②作△DCE的邊DC上的高EF，根據(jù)三角形的面積公式即可得出△DCE的面積；
③解直角△CEF，即可求出∠DCE的正切值；
④連接BP，利用面積法求解，PQ+PR的值等于C點(diǎn)到BE的距離，即正方形對(duì)角線的一半．
解答：解：①∵BE=BC，∴∠QCP=∠REP，又∵∠PQC=∠PRE=90°，∴△PCQ∽△PER，故正確；

②作△DCE的邊DC上的高EF．∵BE=BC=1，∴DE=BD-BE=-1，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DF=DE=，∴S_△DCE=CD•EF=，故正確；

③在△CEF中，∠EFC=90°，EF=，CF=CD-DF=1-=，∴tan∠DCE==-1，故正確；

④連接BP，過(guò)C作CM⊥BD于M．∵BC=BE，∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×，∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形對(duì)角線BD=，又BC=CD，CM⊥BD，∴M為BD中點(diǎn)，又△BDC為直角三角形，
∴CM=BD=，∴PQ+PR=，故正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線．