Question

（10分）已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ．

Answer 1

（1）等邊三角形；（2）S=；（3）t=.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，分別求出BQ和BP的長(zhǎng)度，然后進(jìn)行說(shuō)明；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，利用三角函數(shù)求出QE的長(zhǎng)度，然后求出△BPQ與t之間的關(guān)系；（3）根據(jù)題意可得△CRQ為等邊三角形，求出QR、BE、EP與t的關(guān)系可以得出四邊形EPQR是平行四邊形，然后進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：（1）△BPQ是等邊三角形

當(dāng)t=2時(shí) AP=2×1=2，BQ=2×2=4

∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60°

∴△BPQ是等邊三角形；

（2）過(guò)Q作QE⊥AB，垂足為E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=t 由AP=t，得PB=6﹣t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6﹣t）×t=﹣t

∴S=﹣t；

（3）∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等邊三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t

∵BE=BQ•cos60°=×2t=t

∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t

∴EP∥QR，EP=QR ∴四邊形EPRQ是平行四邊形

∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°= 即 解得t=

∴當(dāng)t=時(shí)，△APR∽△PRQ．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、三角形相似的判定.