Question

如圖1，已知拋物線y=－x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1,0），B（－3,0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.

(1) 求b，c的值。
(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若不存在，請(qǐng)說明理由.
(3) 如圖2，點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

(1) ；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)，最大＝；（3） (，)  .

試題分析：(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出；
(2)假設(shè)存在一點(diǎn)P（x，），則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)根據(jù)題意易證，所以，當(dāng)OE最小時(shí)，△OEF面積取得最小值，點(diǎn)E在線段BC上, 所以當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小此時(shí)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，因此 E(，)  .
試題解析：(1)  b=－2，c=" 3"
(2)存在。理由如下：
設(shè)P點(diǎn)
∵
當(dāng)時(shí)，   ∴最大＝ 
當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)
(3)∵∴,而, ,
∴, ∴ 
∴ 
∴當(dāng)最小時(shí)，面積取得最小值.
∵點(diǎn)在線段上,  ∴當(dāng)時(shí)，最小.
此時(shí)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)
∴ (，).