Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BD相交于點N，連接MB，ND．
（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若AB=1，AD=2，求MD的長．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,矩形的性質

專題：

分析：（1）根據矩形性質求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據菱形性質求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據勾股定理得出BM²=AM²+AB²，推出x²=x²-32x+256+64，求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，

∠MDO=∠NBO BO=DO ∠MOD=∠NOB

，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∵MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）解：∵四邊形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
在Rt△AMB中，∵BM²=AM²+AB²
∴MD²=（2-MD）²+1²，
解得：MD=

5

4

（舍去負值），
即：MD長為

5

4

．

點評：本題考查了矩形性質，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，勾股定理等知識點的應用，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．