Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于

 

．

Answer 1

分析：連接EG、FH，易證得△AEF≌△CHG，△FHD≌△GEB，即可得FH=EG、EF=GH，由此可證得四邊形EFHG是平行四邊形，可過P作EF、GH的垂線，可發(fā)現所求的兩個三角形的面積和實際等于平行四邊形EFHG面積的一半，按此思路進行求解即可．

解答：解：連接FH、EG；
∵AF=CG=2，AE=CH=4-1=3，∠A=∠C=90°，
∴△AEF≌△CHG，S_△AEF=S_△CHG=3；
同理可證：△FHD≌△GEB，S_△FHD=S_△GEB=1.5；
∴FH=EG，EF=GH，即四邊形EFHG是平行四邊形；
且S_{平行四邊形}=S_矩形-2S_△AEF-2S_△FHD=11；
過P作EF、GH的垂線，交EF于M，GH于N；
則S_△EFP+S_△GHP=

1

2

EF（PM+PN）=

1

2

EF•MN=

1

2

S_?EFHG=

11

2

．
故答案為：

11

2

．

點評：此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質以及圖形面積的求法，能夠判斷出四邊形EFHG是平行四邊形是解答此題的關鍵所在．