Question

【題目】如圖，⊙O是以原點為圓心，為半徑的圓，點P是直線y＝-x＋6上的一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則的最小值為（ ）

A.3 B.4 C.6- D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決本題的關鍵是確定OP垂直AB時S△PQO的值最小．先確定A點和B點坐標，再計算出AB=6，則OH=AB=3，再利用切線性質得到∠PQO=90°，根據勾股定理得到PQ=，于是可判斷OP最小時，PQ最小，S△PQO的值最小，然后求出此時PQ的長，再計算S△PQO的最小值．

解：作OH⊥AB于H，連接OQ、OP，如圖，

當x=0時，y=-x+6=6，則B（0，6），

當y=0時，-x+6=0，解得x=6，則A（6，0），

∵OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=6，

∴OH=AB=3，

∵PQ為切線，

∴PQ⊥OQ，

∴∠PQO=90°，

∴PQ==，

∵PQ最小時，S△PQO的值最小，

∵OP最小時，PQ最小，

∴當OP⊥AB，即P點運動到H點時，OP最小，S△PQO的值最小，

此時PQ==4，

∴S△PQO的最小值=××4=2．

故選D．