Question

在ABC中，點P從點A開始出發(fā)向點C運動，在運動過程中，設(shè)線段AP的長為x，線段BP的長為y（如圖1），而y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，點Q是函數(shù)圖象上的最低點，請仔細觀察圖1和圖2，解答下列問題．
（1）AC邊的長為

 

，BC邊的長為

 

；
（2）求∠C的度數(shù)；
（3）若△BPC為鈍角三角形，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：動點問題的函數(shù)圖象

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）觀察函數(shù)圖象得到當x=9時，y=4，說明此時P點運動到了C點，于是得到AC=9，BC=4；
（2）作BD⊥AC于D，由函數(shù)圖象得x=7時，y的值最小，即P點運動到D點時，BP最小，所以AD=7，則DC=2，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到
∠CBD=30°，利用互余有∠C=60°；
（3）作EB⊥BC交AC于E，則點P在線段AE（不含E點）或線段CD（不含端點）上運動時，△BPC為鈍角三角形，利用∠CBD=30°可得到∠EBD=60°，∠BED=30°，在Rt△BCE中，可計算出EC=8，所以AE=1，于是得到滿足條件的x的取值范圍為0≤x＜1或7＜x＜9．

解答：解：（1）觀察圖2，當x=9時，y=4，此時P點運動到了C點，
所以AC=AP=9，BC=BP=4；
故答案為9，4；

（2）作BD⊥AC于D，如圖，
∵點Q是函數(shù)圖象上的最低點，即x=7時，y的值最小，
∴點P運動到D點時，BP最短，即AD=7，
∴DC=AC-AD=9-7=2，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=4，
∴∠CBD=30°，
∴∠C=60°；

（3）作EB⊥BC交AC于E，如圖，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=60°，∠BED=30°，
在Rt△BCE中，EC=2BC=8，
∴AE=1，
當點P在線段AE（不含E點）或線段CD（不含端點）上運動時，△BPC為鈍角三角形，
∴x的取值范圍為0≤x＜1或7＜x＜9．

點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．