Question

（2008•順義區(qū)二模）已知：如圖，在正方形ABCD中，點G是BC延長線一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．
（3）在（2）的條件下，求

DF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，又知DE為公共邊，可以推出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠DAE=∠DCE．   
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及CG=CE，證出CF=EF，再求出∠G=30°，判斷出CF=

1

2

FG，從而得到CF=

1

3

EG．
（3）設CF=x，則EF=CF=x，F(xiàn)G=2CF=2x，利用△ADE≌△CDE，得到AE=CE=CG=

3

x，AF=AE+EF=(

3

+1)x，由于△ADF∽△GCF，利用相似三角形的性質(zhì)求出

DF

FC

的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE．
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠DAE=∠DCE．   

（2）CF=

1

3

EG．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠DCB=90°
∴∠DAE=∠G．
∴∠DCE=∠G．
∵CG=CE，
∴∠1=∠G．
∴∠DCE=∠1．
∴CF=EF．
∵∠2=∠1+∠DCE=2∠1=2∠G，
又∵∠DCG=180°-∠DCB=90°，
∴∠G=30°，
∴CF=

1

2

FG．
∴CF=

1

3

EG．

（3）解：設CF=x，則EF=CF=x，F(xiàn)G=2CF=2x．
在Rt△CFG中，CG=

FG2-CF2

=

3

x．
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=CG=

3

x．
∴AF=AE+EF=(

3

+1)x．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴

DF

FC

=

AF

FG

=

( 3 +1)x

2x

=

3 +1

2

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，綜合性較強，要從圖中找到相關的量，注意挖掘隱含條件．