(2012•拱墅區(qū)二模)已知△ABC中,∠A=α.在圖(1)中∠B、∠C的角平分線交于點O1,則可計算得∠BO1C=90°+
1
2
α
;在圖(2)中,設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O1、O2,則∠BO2C=
60°+
2
3
α
60°+
2
3
α
;請你猜想,當(dāng)∠B、∠C同時n等分時,(n-1)條等分角線分別對應(yīng)交于O1、O2,…,On-1,如圖(3),則∠BOn-1C=
(n-1)α
n
+
180°
n
(n-1)α
n
+
180°
n
(用含n和α的代數(shù)式表示).
分析:根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出(∠ABC+∠ACB),再根據(jù)三等分的定義求出(∠O2BC+∠O2CB),在△O2BC中,利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解;
根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出(∠ABC+∠ACB),再根據(jù)n等分的定義求出(∠On-1BC+∠On-1CB),在△On-1BC中,利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
解答:解:在△ABC中,∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∵O2B和O2C分別是∠B、∠C的三等分線,
∴∠O2BC+∠O2CB=
2
3
(∠ABC+∠ACB)=
2
3
(180°-α)=120°-
2
3
α;
∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-(120°-
2
3
α)=60°+
2
3
α;

在△ABC中,∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∵On-1B和On-1C分別是∠B、∠C的n等分線,
∴∠On-1BC+∠On-1CB=
n-1
n
(∠ABC+∠ACB)=
n-1
n
(180°-α)=
180°(n-1)
n
-
(n-1)α
n

∴∠BOn-1C=180°-(∠On-1BC+∠On-1CB)=180°-(
180°(n-1)
n
-
(n-1)α
n
)=
(n-1)α
n
+
180°
n

故答案為:60°+
2
3
α;
(n-1)α
n
+
180°
n
點評:本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,以及三等分線,n等分線的定義,整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.
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