Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸是y軸．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上的兩動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）以點(diǎn)P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)線段PQ=9，G是PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)G到直線l距離的最小值．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是y軸，
∴b=0，
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，
∴c=1，a=-

1

4

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+1；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（p，-

1

4

p²+1），
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，
∵PH=2-（-

1

4

p²+1）=

1

4

p²+1，
OP=

p2+(- 1 4 p2+1)2

=

1

4

p²+1，
∴OP=PH，
∴直線l與以點(diǎn)P為圓心，PO長(zhǎng)為半徑的圓相切；

（3）如圖，分別過(guò)點(diǎn)P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F．連接EG并延長(zhǎng)交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∵G是PQ的中點(diǎn)，
∴易證得△EQG≌△KPG，
∴EQ=PK，
由（2）知拋物線y=-

1

4

x²+1上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離等于該點(diǎn)到直線l：y=2的距離，
即EQ=OQ，DP=OP，
∴FG=

1

2

DK=

1

2

（DP+PK）=

1

2

（DP+EQ）=

1

2

（OP+OQ），
∴只有當(dāng)點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)G到直線l的距離GF最小，
∵PQ=9，
∴GF≥4.5，即點(diǎn)G到直線l距離的最小值是4.5．