Question

如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2

3

，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點(diǎn)，且∠AOP=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）

．

Answer 1

分析：過圓心C作CF平行于OA，過P作PE垂直于x軸，兩線交于F，由A和B的坐標(biāo)得出OA及OB的長，利用勾股定理求出AB的長，由∠AOP=45°，得到三角形POE為等腰直角三角形，得到P的橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)為（a，a），再由∠AOB=90°，利用圓周角定理得到AB為直徑，外接圓圓心即為直徑AB的中點(diǎn)，設(shè)為C，求出C的坐標(biāo)，可得出PC=2，根據(jù)垂徑定理求出EF的長，用PE-EF表示出PF，用P的橫坐標(biāo)減去C的橫坐標(biāo)，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，進(jìn)而確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：∵OB=2，OA=2

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，可設(shè)為a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點(diǎn)，坐標(biāo)C（

3

，1），
可得P點(diǎn)在圓上，P點(diǎn)到圓心的距離為圓的半徑2，
過點(diǎn)C作CF∥OA，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-

3

，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a-

3

）²+（a-1）²=2²，
舍去不合適的根，可得：a=1+

3

，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+1，

3

+1）．
∵P與P′關(guān)于圓心（

3

，1）對(duì)稱，
∴P′（

3

-1，1-

3

）．
故答案為：（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．