Question

【題目】如圖，△ABC邊AB上點D、E（不與點A、B重合），滿足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）當CD⊥AB時，求線段BE的長；
（2）當△CDE是等腰三角形時，求線段AD的長；
（3）設AD=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，sinA= ，tanB= ，

如圖，當CD⊥AB時，△ACD為直角三角形，

∴CD=ACsinA= ，

∴AD= = ，

又∵∠DCE=∠ABC，

∴在Rt△CDE中，DE=CDtan∠DCE= × = ，

∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣ ﹣ =

（2）解：當△CDE時等腰三角形時，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，

∴唯有∠CED=∠CDE，

又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，

∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，

∴BD=BC=4，

∴AD=5﹣4=1

（3）解：如圖所示，作CH⊥AB于H，

∵ ×BC×AC= AB×CH，

∴CH= ，

∴Rt△ACH中，AH= = ，

∴在Rt△CDH中，CD2=CH2+DH2=（ ）2+（ ﹣x）2=x2﹣ x+9，

又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，

∴△BDC∽△CDE，

∴CD2=DEDB，

即x2﹣ x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），

解得 ．

【解析】（1）先根據(jù)∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求得AB=5，sinA= ，tanB= ，再根據(jù)△ACD為直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后根據(jù)BE=AB﹣AD﹣DE進行計算即可；（2）當△CDE時等腰三角形時，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，進而得出∠CED=∠CDE，再根據(jù)∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，得到∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，最后求得AD的長；（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的長，在Rt△CDH中，根據(jù)勾股定理得出：CD2=x2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出CD2=DEDB，即x2﹣ x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．