Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45゜，D為BC上一點(diǎn)，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，AE、CF相交于點(diǎn)G．
（1）求證：△AFG≌△CFD；
（2）若BC=3，AF=

3

，求線段EG的長．

Answer 1

分析：（1）連接BF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的判定求出BD=DF，求出BF=AF=CF，求出∠FAG=∠FCD，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可．
（2）求出BD、DC長，根據(jù)全等求出FG=DF=1，根據(jù)勾股定理求出CF，求出CG，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：連接BF，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CFD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FCD=30°，
∴CD=2DF，
∵CD=2BD，
∴BD=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∵∠ADC=∠DFB+∠FBD=60°，
∴∠DFB=∠DBF=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∵∠ABF+∠BAF=∠BFD=30°，
∴∠FAB=15°，
即∠BAF=∠ABF，
∴BF=AF，
∵∠FBC=∠FCB=30°，
∴BF=CF，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FAG=30°=∠DCF，
在△AFG和△CFD中

∠AFG=∠CFD AF=CF ∠FAG=∠FCD

∴△AFG≌△CFD．

（2）解：∵BC=3，CD=2BD，
∴BD=1，CD=2，
∵DF=BD，
∴DF=1，
∴在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF=

22-12

=

3

，
∵△AFG≌△CFD，
∴DF=FG=1，
∴CG=

3

-1，
在Rt△CEG中，∠GEC=90°，∠GCE=30°，
∴EG=

1

2

CG=

3 -1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．