Question

10．如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)E．連結(jié)CF
（1）求證：CF∥BD
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，推出點(diǎn)B，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓，得到∠BDE=∠DFC，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，
∵AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，
∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓，
∵BF=CD，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BDE=∠DFC，
∴CF∥BD；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）²-EC²=CD²，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，熟練的運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．