Question

已知函數(shù)（是常數(shù)）

（1）若該函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值；

（2）若點(diǎn)在某反比例函數(shù)的圖像上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是隨的增大而增大，求應(yīng)滿足的條件以及的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，且，，在軸上，是否存在點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P及△ABP的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)為為一次函數(shù)，它的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得。

綜上所述，若函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為0或。

（2）設(shè)反比例函數(shù)為，

∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，即.。

∴反比例函數(shù)為。

∵要使該反比例函數(shù)y隨著x的增大而增大，則。

∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，

∴要使二次函數(shù)的y隨著x的增大而增大，在的情況下，x必須在對(duì)稱軸的左邊，即。

綜上所述，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都y隨著x的增大而增大，必須且。

  （3）存在。

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程方程的判別式，解得。

又∵，∴，解得或。

又∵，∴。

∴二次函數(shù)為。

設(shè)P（0，p）是滿足條件的點(diǎn)，則，即。

∴�！�。∴。

∴�！�。

∴。

∴在y軸上，存在點(diǎn)P（0，）或（0，）,使△ABP是直角三角形，△ABP的面積為。

【解析】（1）分和兩種情況討論即可。

（2）根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)求解。

（3）若△ABP是直角三角形，則一定是∠APB=90⁰，從而由已知，，根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得△ABP的面積。