Question

17．（1）如圖（1），△ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊△ACE，等邊△BCD，連接AD、BE交于點P，猜想線段AD和BE之間的數(shù)量關系是AD=BE，∠BPD的度數(shù)為60°．（不必證明）
（2）如圖（2），△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，BC=5，分別以AC、BC為邊作等腰Rt△ACE，等腰Rt△BCD，使AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，連AD、BE，求BE的長．
（3）如圖（3），△ABC中，AC=2，分別以AC、BC為邊作Rt△ACE，Rt△BCD，使∠ACE=∠BCD=90°，∠AEC=∠CBD=30°，連接AD、BE、DE，若∠CAD=30°，DE=5，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=EC，CB=CD，∠ACE=∠BCD進而得出，△ACD≌△ECB（SAS），即可得出AD=BE，∠CAD=∠BE最后利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法得出AD=BE，再判斷出△ABD是直角三角形，最后用勾股定理即可求出BE，
（3）先判斷出△ADE是直角三角形，求出AD，再判斷出點A，B，D，C四點共圓，進而得出，點A在BE上，最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ACE，△BCD都是等邊三角形，
∴AC=CE，BC=CD，∠CAE=∠AEC=∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠BCE=∠DCA，
在△ACD和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠BEC，
∵∠BEC+∠AEB=∠AEC=60°，
∴∠CAD+∠AEB=60°，
∠DAE+∠AEB=∠CAD+∠CAE+∠AEB=（∠CAD+∠AEB）+∠CAE=60°+60°=120°，
∴∠APE=180°-（∠DAE+∠AEB）=60°，
故答案為：AD=BE，60°；

（2）∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
∵等腰Rt△BCD，BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°，
在等腰Rt△BCD中，BC=5，
∴BD=5$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，AB=3，BD=5$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{59}$，
∴BE=$\sqrt{59}$；

（3）如圖，在Rt△ACE中，AC=2，∠AEC=30°，
∴∠CAE=90°-∠AEC=60°，CE=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，AE=2AC=4，
∵∠CAD=30°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=90°，
在Rt△ADE中，AE=4，DE=5，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵∠CAD=∠CBD=30°，
∴點A，B，D，C四點共圓，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=180°，
∴點B，A，E在同一條直線上，
即：點A在BE上，如圖1，
∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCA，
∵∠AEC=∠CAD=30°，
∴△BCE∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{BE}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=3$\sqrt{3}$，

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，四點共圓，三點共線，勾股定理等多個知識點，判斷出△ACD≌△ECB（SAS）是解本題的關鍵，得出點B，A，E在同一條直線上是解本題的難點，此題用到類比的數(shù)學思想，是一道很好的中考壓軸題．