Question

八(1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）．設(shè)計(jì)了如下方案：

(I)∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．

(Ⅱ)∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP 就是∠AOB的平分線．

(1)方案(I)、方案(Ⅱ)是否都可行？對于可行的方案，請加以證明；

(2)在方案(I)PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請說明理由．(0°<∠AOB<180°)

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行，方案（Ⅱ）可行.                       

證明如下：    

在△OPM和△OPN中

    

∴△OPM≌△OPN(SSS)                                                 

∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對應(yīng)角相等)                                

（2）當(dāng)∠AOB是直角時(shí)，此方案可行.                                    

此時(shí)∠AOB=∠PMO=∠MPO=∠PNO=90°，滿足四邊形內(nèi)角和等于360°    

而PM⊥OA,PN⊥OB,

且PM=PN

∴OP為∠AOB的平分線.(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上)     

當(dāng)∠AOB不為直角時(shí)，此方案不可行，此時(shí)∠AOB＋∠PMO＋∠MPO＋∠PNO＜360°