Question

（本題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF＝∠CBG .

求證：（1）BG＝CF；

（2）DG=CF

Answer 1

詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由題意證得：∠BCG＝∠CAF＝45°，∠CBG＝∠ACF，AC＝BC，根據(jù)全等三角形的判定得△BCG≌△CAF，利用全等三角形的性質(zhì)得BG＝CF；

（2）連接AG，證得點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上，得到BG=AG，進(jìn)而證得AG＝DG，由BG=CF，得到DG＝CF.

試題解析：證明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，

∴∠BCG＝∠CAF＝45°，

∵∠CBG＝∠ACF，AC＝BC，

∴△BCG≌△CAF，

∴BG＝CF；

(2)連接AG，

∵AC＝BC，CG平分∠ACB，

∴點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上，

∴BG=AG，∠GBA＝∠GAB，

∵AD⊥AB，

∴∠D＝＝∠GAD，

∴AG＝DG，

∵由（1）BG=CF，

∴DG＝CF.

考點(diǎn)：1、全等三角形的判定和性質(zhì)；2、線段的垂直平分線的性質(zhì).