Question

如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中.

（1）操作發(fā)現(4分)
如圖2，固定△ABC ，使△DEC繞點C旋轉。當點D恰好落在AB邊上時，填空：

線段DE與AC的位置關系是         ；
設△BDC的面積為，△AEC的面積為。則與的數量關系是      。
（2）猜想論證（4分）
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC，△AEC中邊上的高，請你證明小明的猜想。

Answer 1

（1）DE∥AC；S₁=S₂；（2）證明見解析.

試題分析：（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；
②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=
12AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．
試題解析：（1）①DE∥BC
理由如下：
∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；
（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂．
考點: 1.全等三角形的判定與性質；2.平行線的判定；3.等邊三角形的判定與性質．