Question

【題目】已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓．得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣5；（2）若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；（3）

【解析】

試題（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式．

（2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．

解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．

∵PH∥OA，

∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，

∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，

∴∠CHP=∠COA=90°．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．

設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，

∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，

∴

∴

∴直線DP的解析式為y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，

∵△DOM∽△ABC，

∴=．

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5），

∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）

②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，

∵△DOM∽△CBA，

∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，

∴=．

∴OM=．

∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，

∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都與⊙P相切，

∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四邊形DEPF=2S△PED

=2×PEDE

=PEDE

=DE．

∵∠DEP=90°，

∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：

當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，

此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最小．

∵DP⊥AC，

∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，

∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，

∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，

∴S四邊形DEPF=DE

=．

∴四邊形DEPF面積的最小值為．