Question

18．如圖1，C為線段BD上一動點，分別過點B、D在BD兩側(cè)作AB⊥BD，ED⊥BD，
連結(jié)AC，EC．
（1）如圖1，已知AB=3，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x．用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長．（直接列式，不需化簡）
（2））如圖1，請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最�。浚ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)論，不需證明）
（3）根據(jù)以上的結(jié)論和規(guī)律，請在虛線框中構(gòu)造圖形，利用圖形求出代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理直接列式；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：當點C在直線AE上時，AC+CE的值最小，
（3）構(gòu)建類似于圖1的圖3，作輔助線，構(gòu)建直角△AEF，利用勾股定理求出AE的長，即代數(shù)式的最小值．

解答 解：（1）∵CD=x，BD=12，
∴BC=12-x，
由勾股定理得：AC+CE=$\sqrt{{3}^{2}+（12-x）^{2}}+\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$；
（2）當點C在直線AE上時，如圖2，AC+CE的值最小，
理由是：C₁是線段BD上任意一點（C₁不與C重合），
在△AC₁E中，∵AC₁+EC₁＞AE，
∴AC₁+EC₁＞AC+CE，
即AC+CE的值最小，
（3）如圖3，線段BD，分別過點B、D在BD兩側(cè)作AB⊥BD，ED⊥BD，
已知AB=7，BD=DE=5，連結(jié)AE交BD于C，
由（2）得：此時AC+CE的值最小，
設(shè)BC=x，則CD=5-x，
∴AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$，
即代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值就是線段AE的長，
過E作EF⊥AB，交AB的延長線于F，
∴∠F=90°，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠FBD=∠BDE=90°，
∴四邊形EFBD是矩形，
∴EF=BD=5，BF=DE=5，
∴AF=5+7=12，
在Rt△AEF中，則勾股定理得：AE=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值是13．

點評 本題考查了最短路徑問題，正確確定C點的位置是解題的關(guān)鍵，本題還考查了兩點之間線段最短或三角形的三邊關(guān)系及勾股定理．