Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點，C在AB的延長線上，AD⊥CE交CE的延長線于點D，且AE平分∠DAC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）利用角平分線的性質(zhì)得到∠OAE＝∠DAE，再利用半徑相等得∠AEO＝∠OAE，等量代換即可推出OE∥AD，即可解題，（2）根據(jù)30°的三角函數(shù)值分別在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°， 在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解題.

證明：如圖，連接OE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠OAE＝∠DAE．

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠OAE．

∴∠AEO＝∠DAE．

∴OE∥AD．

∵DC⊥AC，

∴OE⊥DC．

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．

∴∠EAB＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×=，

在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，

∴AD=cos30°×AE=×=.