Question

正方形ABCD中，點F為正方形ABCD內(nèi)的點，△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合．

（1）如圖①，若正方形ABCD的邊長為2，BE=1，F(xiàn)C=

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，求證：AE∥BF．
（2）如圖②，若點F為正方形ABCD對角線AC上的點（點F不與點A、C重合），試猜想：AE²+AF²=2BF²是否成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，試舉一反例說明．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC=90°，由旋轉(zhuǎn)可得∠EBF=∠AEB=90°，就有∠AEB+∠EBF=180°，從而得出結(jié)論．
（2）利用正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAF=90°，進而利用勾股定理得出AE²+AF²=2BF²．

解答：（1）證明：∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵BF²+FC²=1²+（

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）²=4，
BC²=2²=4
∴BF²+FC²=BC²
∴∠BFC=90°，
∴∠AEB+∠EBF=180°，
∴AE∥BF；

（2）解：AE²+AF²=2BF²成立；
理由：∵AC是正方形ABCD的角平分線，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠EAF=45°+45°=90°，
∴AE²+AF²=EF²，
∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴2BF²=EF²，
∴AE²+AF²=2BF²．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理、勾股定理的逆定理的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，在解答的過程中要注意旋轉(zhuǎn)過程中的不變量的運用．