Question

如圖，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）當正方形GFED繞D旋轉到如圖1的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（2）當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.

①求證：AG⊥CH;

②當AD=4，DG=時，求CH的長。

 

Answer 1

解：（1）成立．

　　　　　　四邊形、四邊形是正方形，

　　　　　　∴      

∠∠.

            ∴∠90°-∠∠.                                                                                   

　　　　　　∴△△.

            ∴.                      

      （2）①類似（1）可得△△，

　　　　　   ∴∠1＝∠2                        

　            又∵∠＝∠.     

　　　　　   ∴∠∠＝.

　　　　　   即                     

　　　　 　  ② 解法一: 過作于,

　　　　　    由題意有,

　　　　　　∴，則∠1＝.     

　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

　　　　　　∴　，即.               

　　　　　　在Rt中，＝＝,

　              而∽,∴,　 即,　　　　

∴.　                                                 

再連接，顯然有,

　　　　　    ∴.

            所求的長為.                                                

解法二：研究四邊形ACDG的面積

過作于,

　　　　      由題意有,

∴,.       

而以CD為底邊的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.

∴=.