Question

（2001•黃岡）先閱讀下列第（1）題的解答過程：
（1）已知a，β是方程x²+2x-7=0的兩個實數(shù)根，求a²+3β²+4β的值．
解法1：∵a，β是方程x²+2x-7=0的兩個實數(shù)根，
∴a²+2a-7=0，β²+2β-7=0，且a+β=-2．
∴a²=7-2a，β²=7-2β．
∴a²+3β²+4β=7-2a+3（7-2β）+4β=28-2（a+β）=28-2×（-2）=32．
解法2：由求根公式得a=1+2

2

，β=-1-2

2

．
∴a²+3β²+4β=（-1+2

2

）²+3（-1-2

2

）²+4（-1-2

2

）
=9-4

2

+3（9+4

2

）-4-8

2

=32．
當(dāng)a=-1-2

2

，β=-1+2

2

時，同理可得a²+3β²+4β=32．
解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．
∴a²+β²=（a+β）²-2aβ=18．
令a²+3β²+4β=A，β²+3a²+4a=B．
∴A+B=4（a²+β²）+4（a+β）=4×18+4×（-2）=64．①
A-B=2（β²-a²）+4（β-a）=2（β+a）（β-a）+4（β-a）=0．②
①+②，得2A=64，∴A=32．
請仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問題：
（2）已知x₁，x₂是方程x²-x-9=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式x₁³+7x₂²+3x₂-66的值．

Answer 1

分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到

x

2 1

=x₁+9，

x

2 2

=x₂+9，然后將原式變形為x₁（x₁+9）+7（x₂+9）+3x₂-66，整理后代入即可求值．

解答：解∵x₁，x₂是方程x²-x-9=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，

x

2 1

-x₁-9=0，

x

2 2

-x₂-9=0，
即

x

2 1

=x₁+9，

x

2 2

=x₂+9．
∴

x

3 1

+7

x

2 2

+3x₂-66
=x₁（x₁+9）+7（x₂+9）+3x₂-66
=

x

2 1

+9x₁+10x₂-3
=x₁+9+9x₁+10x₂-3
=10（x₁+x₂）+6
=16．?

點評：本題是一道閱讀理解題，考查一元二次方程根的不對稱式值的求解．解法1應(yīng)用一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系和逐步降次的方法求解；解法2應(yīng)用求根公式法求出方程的解，再直接代入待求式求值；解法3通過構(gòu)造與待求式對稱的對偶式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解，求不對稱式的值源自于中學(xué)競賽內(nèi)容，知識點略高于中考要求，故題中提供了可借鑒的三種解法，不僅降低了問題難度，而且側(cè)重考查了自學(xué)能力，吻合了素質(zhì)教育對學(xué)生自學(xué)能力培養(yǎng)的要求．解答這類題，透徹理解閱讀材料，并靈活選用合理方法加以運用是前提．第（2）問題選用解法1的方法較為簡便．