Question

如圖，在直角坐標系中，⊙O的圓心O在坐標原點，直徑AB=8，點P是直徑AB上的一個動點（點P不與A、B兩點重合），過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，當直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點時，過點C作CE⊥x軸交⊙O于點E，過點E作EG⊥y軸于G，過點C作CF⊥y軸于F，連接DE．
（1）填空：∠CPB=______°；
（2）試探究：在P點運動過程中，PD²+PC²的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由；如果不變化，請求出這個值；
（3）如果點P在射線AB上運動，當△PDE的面積為4時，請你求出CD的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圖象與x，y軸交點坐標得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，得出PD²+PC²=32即可；
（3）分別從當點P在直徑AB上時，以及當點P在線段AB的延長線上時得出CD與CM的長度關(guān)系，進而求出即可．
解答：（1）解：過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，
當x=0，y=m，當y=0，x=-m，
故QO=PO，
則∠CPB=45°；
故答案為：45；

（2）不變，
證明：如圖1，連接PE，EO，DO，
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴，
∴DO⊥EO，
∴，
∴PD²+PC²=32；

（3）解：當點P在直徑AB上時，
S_△PDE=PD×PE=PD×PC=4，
故PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，
∴CD=4，
當點P在AB延長線上，如圖2，
同理可得：
CD²=（PD-PC）²=32-16=16，
解得CD=4．
綜上所述，CD的長為或4．
點評：此題主要考查了圓的綜合題，三角形的面積以及平方差公式應用以及一次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．