Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=

3

4

，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DF⊥DE交射線(xiàn)AC于點(diǎn)F．
（1）求AC和BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)EF∥BC時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
（3）連接EF，當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)AC=3k，BC=4k，由條件AB=5，tanB=

3

4

，可求出AC和BC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，容易證得△EHB∽△ACB，設(shè)EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；根據(jù)相似的性質(zhì)可求出k的值問(wèn)題得解；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，易得△EHB∽△ACB，設(shè)EH=3k，BE=5k，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出k的值，在解題時(shí)要注意分類(lèi)討論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
∵tanB=

AC

BC

=

3

4

，∴設(shè)AC=3k，BC=4k，
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設(shè)EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴

EF

FD

=

FD

CD

∴FD²=EF•CD，
即9k²+4=2（4-4k）
化簡(jiǎn)，得9k²+8k-4=0
解得k=

-4±2 13

9

（負(fù)值舍去），
∴BE=5k=

10 13 -20

9

；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設(shè)EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

=

DE

DF

，
當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，有兩種情況：1°

DE

DF

=

AC

BC

=

3

4

，
∴

EH

CD

=

3

4

，
即

3k

2

=

3

4

解得k=

1

2

，
∴BE=5k=

5

2

（3分）2°

DE

DF

=

BC

AC

=

4

3

，
∴

EH

CD

=

4

3

，
即

3k

2

=

4

3

解得k=

8

9

，
∴BE=5k=

40

9

．
綜合1°、2°，當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，BE的長(zhǎng)為

5

2

或

40

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的運(yùn)用，題目難度不小，具有一定的綜合性．特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．